Soal dan penyelesaian Hukum Archimedes

Soal 1:
Batu padat bermassa 2 kg dan massa jenis  3200 kg/m³ dan g = 9,8 m.s^-2. Berapakah hasil bacaan neraca pegas ketika batu: (a) berada di udara, (b) tercelup seluruhnya dalam air dan tercelup setengah bagian dalam air!

Jawab:
Massa jenis batu = ρ_b = 3200 kg/m³, massa jenis air ρ_f = 1000 kg/m³, g = 9,8 m.s^-2, massa batu = 2kg
Volume batu = V_b = m/ρ_b = 2 kg/(32 kg/m³) = 0,0625 m³

 (a) ketika batu berada di udara, diagram bebas gaya-gayanya seperti berikut
 ΣF = 0, arah atas positif
+ T – mg = 0
T = mg = 2 kg x 9,8 N/kg = 19,6 N

(b) ketika batu tercelup di dalam air, bekerja gaya ke atas F_a, seperti gambar berikut.
ΣF = 0
+ T – mg + F_a = 0
T = mg – F_a
Untuk batu yang tercelup seluruhnya (volume batu yang tercelup dalam fluida sama dengan volume batu, V_bf = V_b) sehingga,
F_a = ρ_fV_bfg
T = mg – ρ_fV_bg
   = 2 kg x (9,8 N/kg) – (1000 kg/m³)(0,0625 m³)(9,8 N/kg)
= 12,3 N

(c) untuk balok yang tercelup setengah bagian dalam air maka V_bf = V_b/2, sehingga
F_a = ρ_fV_bfg
T = mg – ρ_f (V_b/2) g
   = 2 kg x (9,8 N/kg) – (1000 kg/m³)(0,0625 m³/2)(9,8 N/kg)
= 16 N

Soal 2:
Balok kayu yang terapung di permukaan air dan volume bagian balok yang muncul di atas air sebesar 100 cm³. Jika massa jenis balok kayu = 0,8 g/cm³ dan massa jenis air = 1 g/cm³, maka hitunglah massa balok kayu itu.

Jawab:
Diketahui: ρ_b = 0,8 g/cm³, ρ_a = 1 g/cm³,
Gaya Archimedes,
F_a = ρ_fV_bfg
Berat balok
w_a = ρ_bV_bg
karena
F_a = w, maka
ρ_fV_bfg = ρ_bV_bg
V_bf = 0,8 g/cm³ V_b/(1 g/cm³) = 0,8V_b
Volume balok adalah
V_b = V_bf + 100 cm³ = 0,8V_b + 100 cm³
V_b = 500 cm³
sehingga massa balok adalah m_b = ρ_b x V_b = 0,8 g/cm³ x 500 cm³ = 0,4 kg

Soal 3:
Balok  logam yang memiliki volume 0,2 m³ digantung dengan tali ringan dan selurunya tercelup dalam tangki berisi air. Tentukan tegangan tali? [massa jenis logam  = 8 × 103 kg m^-3]

Jawab:

Volume logam, V_L = 0,2 m³, massa jenis logam, ρ_logam = 8 × 10³ kg m^-3 dan ρ_air= 1000 kg m^-3

Sistem dalam keadaan setimbang, maka

Gaya Archimedes + tegangan tali = berat balok

F_A + T = W
ρ_airV_airg + T = ρ_balokV_balokg
T = ρ_balokV_balokg – ρ_airV_airg
T = (8000)(0.2)(10) - (1000)(0.2)(g)
T = 14000 N

Soal 4:
Drum yang terapung di air digunakan untuk membuat jembatan pnton. Setiap drum diisi udara sehingga secara keseluruhan memiliki massa 13 kg dan volume rata-rata 0,25 m³. Berapakah gaya topang tiap drum apabila bagian yang tenggelam hanya setengahnya?

Jawab:
Massa jenis air ρ_f = 1000 kg/m³, massa drum dan udara m_d = 13 kg, volume drum dan udara V_d = 0,25 m³, jika drum diberi beban sehingga tercelum setengahnya maka V_bf = V_d/2. Drum mencapai kesetimbangan sehingga berlaku:
ΣF = 0
+F_a – w_b = 0
W_b = F_a = ρ_fV_bfg  = (1000 kg/m³)(1/2)(0,25  m³)(10 m/s²) = 1250 N

Soal 5: 
Balon yang diisi gas helium memiliki massa yang tidak berarti. Volume balon adalah 120 cm³. [Kepadatan udara = 1,23 kg/m³. Tingkat helium gas = 0,18 kg/m³]. 

Jawab:
(a) Hitung massa gas helium di balon?
m = ρV
m = (0,18 kg/m³) (120 × 10^-6 m³) = 2,16 × 10^-5kg 

(b) Hitung berat gas helium?
W = mg
W = (2,16 × 10^-5 kg) (10 N/kg) = 2,16 × 10^-4N

Balon tersebut kemudian diikat dengan massa m kg, seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas. Balon dan muatan mengapung di udara!

Gaya ke atas = berat beban + berat gas helium

(c) Hitung massa beban, m.
Gaya ke atas = berat beban + berat gas helium
ρVg = mg + 2,16 × 10^-4 kg
(1,23 kg/m³)(120 × 10^-6 m³)(10 N/kg) – 2.16 × 10^-4 kg = m (10)
m = 1,26 × 10^-4kg

(d) Jika tali yang diikat pada balon dipotong, Temukan akselerasi ke atas yang dialami balon?
Gaya netto dilakukan pada balon = mg = (1,26 x 10^-4 kg)(10 N/kg) = 1,26 x 10^-3N
Massa gas helium, m = 2,16 x 10^-5kg
F = ma
(1.26 × 10^-3 N) = (2.16 × 10^-5kg)a
a = (1.26 × 10^-3 N)/(2.16 × 10^-5kg) = 58.3 ms^-2

Soal 6

Sebuah balon udara yang berisi udara panas memiliki volume 1000 m³.Balon itu bergerak ke atas dengan kelajuan tetap di udara yang massa jenisnya 1,2 kg/m³.Massa jenis udara panas yang ada di dalam balon ketika itu adalah 0,90 kg/m³. (a) Berapakah massa total balon dan udara panas di dalamnya?, (b) Berapakah massa balon? Dan (c) Berapakah percepatan ke atas balon ketika suhu udara di dalam balon dinaikkan hingga massa jenisnya menjadi 0,8 kg/m³ ?

Jawab;
(a) Massa total balon dan gas panas yang ada pada balon?
karena balon bergerak ke atas dengan percepatan tetap maka gaya ke atas (F apung) = total gaya berat balon dan gas di dalamnya (W total)
F_atas = W_total = W_balon + W_gas
Mg = ρ_ugV = 1,2 kg/m³ x 1000 m³
M = 1200 kg
(b) Berapakah massa balon?
ρ_ugV = m_bg + ρ_gasgV
m_b = (ρ_u – ρ_u)V
m_b = (1,2 kg/m³ – 0,90 kg/m³) x 1000 m³ = 300 kg
(b) Jika ρ gas = 0,8 kg/m³, maka percepatan = ?
ΣF = Ma
dengan M = massa balon + massa gas panas
M = m_b + ρ_gV = 300 kg + 0,8 kg/m³ x 1000 m³
M = 1100 kg
Maka percepatan yang dialami balok adalah
F_a – m_bg – ρ_gasVg = Ma
ρ_ugV – m_bg – ρ_gasVg = Ma
(ρ_u– ρ_gas)Vg – m_bg = Ma
(1,2 kg/m³ – 0,80 kg/m³)1000 m³ x 10 m/s² – 300 kg x 10 m/s² = (1100 kg)a
1000 = 1100a
a = 10/11 m/s²

Soal 7
Sebuah bola dengan volume 32 cm³ mengapung di permukaan air dengan setangh bagian volumenya berada di bawah permukaan air. Jika massa jenis air adalah 1000 kg.m^-3, berapakah massa bola?

Jawab:
Volume total bola = V_b = 32 cm² = 32 x 10^-6 m³; massa jenis air ρ_f = 1000 kg.m^-3.
Massa jenis bola kita kitung dengan menggunakan konsep,
F_a = W
ρ_fgV_bf = ρ_bgV_b
ρ_b = (½V_b) 1000 kg.m^-3/V_b = 500 kg/m³
Massa bola, m_b, adalah
m_b = ρ_b x V_b = (500 kg/m³)(32 x 10^-6 m³) = 0,016 kg = 16 gram

Soal 8:
Suatu benda terapung di atas permukaan air yang berlapiskan bensin dengan 40% volume benda berada di dalam air, 30% di dalam bensin dan sisanya berada di atas permukaan bensin. Jika massa jenis bensin = 700 kg.m^-3, berapakah massa jenis benda tersebut?

Jawab:
Dari gambar dapat kita tuliskan
F_a1 + F_a2 = W_b
Dengan F_a1 = gaya ke atas akibat fluida air; F_a2 = gaya ke atas akibat bensin, maka
ρ₁gV_bf1  + ρ₂gV_bf2 = ρ_bgV_b atau
ρ₁V_bf1  + ρ₂V_bf2 = ρ_bV_b
(1000 kg/m³)(0,4 V_b) + (700 kg/m³)(0,3 V_b) = ρ_bV_b
Jadi, V_b = 610 kg.m^-3

Soal 9:
Dimensi suatu kotak berongga adalah 15 cm x 10 cm x 5 cm. Kotak tersebut mengapung tegak lurus di atas permukaan dengan dua per tiga rusuk terpanjangnya terbenam dalam air. Tentukan (a) massa kotak tersebut dan (b) massa logam yang harus dimasukkan ke dalam kotak tersebut agar kotak tepat mengapung dengan bidang sisi atasnya sejajar dengan permukaan air.

Jawab:

Volume benda total V_b = 15 x 10 x 5 = 750 cm³= 750 x 10^-6 m³; massa jenis air ρ_f = 1000 kg.m^-3.

(a) rusuk terpanjang h_b = 15 cm,

rusuk yang tercelup h_bf = 2h_b/3 = 10 cm,

maka volume benda yang tercelup, V_bfadalah

V_bf = 10 x 10 x 5 = 500 cm³ = 500 x 10^-6 m³

Karena F_a = W, maka

ρ_fgV_bf = mg

m = ρ_fV_bf = (1000 kg.m^-3)(500 x 10^-6 m³) = 0,5 kg = 500 g

(b) misalkan massa logam yang dimasukkan ke dalam kotak adalah nkg, maka massa total benda adalah m_t = x + 0,5.

Pada kasus ini, kotak tercelup seluruhnya dalam air.

V_bf = V_b = 750 x 10^-6 m³, dan

Karena F_a = W, maka

ρ_fgV_bf = m_tg

(1000 kg.m^-3)(750 x 10^-6m³) = n + 0,5 kg

0,75 kg = n + 0,5 kg

n= 0,25 kg = 250 gram

Soal 10;
Seperti ditunjukkan pada gambar di bawah mahkota memiliki massa 14.7 kg bila diukur di atas air dan 13.4 kg bila diukur dalam air. Apakah mahkota itu terbuat dari emas?

Jawab:
Ketika mahkota ditimbang di udara beratnya adalah W = mg = 147 N = T,
Tetapi ketika ditimbang dalam air beratnya menjadi T’ = 134 N, maka menurut hukum II Newton diberikan oleh
T’ + F_a = mg
Dengan F_a = gaya ke atas oleh fluida atau gaya Archimedes atau disebut juga gaya apung, dengan
F_a = ρ_fgV_bf
Dengan ρ_f = massa jenis fluida = 1,0 g/cm³ (air), V_bf = volume benda yang tercelup dalam fluida = V_b (karena mahkota tercelup seluruhnya dalam air), maka
T’ – mg = ρ_fgV_bf
147 N – 134 N = ρ_fgV_bf
ρ_fgV_bf = 13 N  (1)
berat mahkota yang ditimbang di udara dapat juga dituliskan sebagai
W = mg = ρ_bgV_b
ρ_bgV_b = 147 N (2)
kita bagi hubungan (2) dan (1), maka kita peroleh
ρ_b/ρ_f = 147/13 = 11,31
ρ_b = 11,31 g/cm³

karena massa jenis emas sekitar 19,3 g/cm³ maka mahkota terbuat dari campuran emas dan logam lain bukan emas murni.

Soal 11: 
Gabus berbentuk kubus dengan massa jenis σ (sisi-sisinya h) diikat dengan tali yang lembut dan ringan, lalu dicelupkan ke dalam air, seperti gambar. Massa jenis air ρ. Tentukan gaya yang dialami oleh pegas!

Jawab:

Pegas yang digantung pada dinding mengalami tarikan yang dikerjakan oleh tali, karena itu gaya yang dialami pegas sama dengan gaya tegangan tali T.

Untuk menghitung T, kita tinjau sistes gabus. Pada gabus bekerja gaya F_a= gaya apung, w = mg = gaya berat gabus dan T = gaya tegangan tali.

ΣF_y= 0

F_a – T ­– mg = 0

T = F_a – mg 

Volume kubus adalah h³, maka

F_a = volume kubus x berat jenis air

    = h³(ρg)

Massa kubus = massa jenis kubus x volume kubus

m = σh³

dengan demikian,

T = h³(ρg)– σh³g 
T= (ρ – σ)gh³